Secciones Cónicas

SECCIONES CONICAS

Se llaman secciones cónicas a aquellas figuras que se obtienen cortando un cono circular recto doble con un plano, segun el cambio de posicion del plano se obtiene una circunferencia, elipse, parábola e hipèrbola.


Circunferencia                      Hipérbola                               Elipse                             Parabola






Enlace Relacionados

http://filemon.upct.es/~pepemar/conicas/index.htm
http://math2.org/math/algebra/es-conics.htm
http://www.ditutor.com/geometria_analitica/secciones_conicas.html



ELIPSE





   Definición
Una elipse es el conjunto de puntos$(x, y)$ cuya suma de distancias a dos puntos distintos prefijados (llamados focos) es constante.
La recta que pasa por los focos corta a la elipse en dos puntos llamados vértices. La cuerda que une los vértices es el eje mayor de la elipse y su punto medio el centro de la elipse. La cuerda perpendicular al eje mayor y que pasa por el centro se llama eje menor de la elipse.

Para visualizar la definición de la elipse, basta imaginar dos chinches clavados en los focos y un trozo de cuerda atada a ellos. Al ir moviendo un lápiz que tensa esa cuerda, su trazo irá dibujando una elipse, como se muestra en la figura 1.

Figura 1.
 
En el programa que sigue, el primer segmento determina la constante 2a. Esta constante se puede modificar arrastrando ambos puntos del segmento. Los focos también se pueden modificar arrastrándolos con el mouse. El punto sobre la línea azul sirve para variar la pendiente de la recta
 




 

La forma canónica de la ecuación de una elipse de centro $(h, k)$ y ejes mayor y menor de longitudes $2a$ y $2b $ respectivamente, con $a> b$, es

\begin{displaymath}\frac{{\left( x - h \right) }^2}{a^2} + \frac{{\left( y - k \right) }^2}{b^2} = 1\end{displaymath}
 

Figura 2.
 
Observación : de la figura 2, podemos deducir que $d(V_1,F_1)+d(V_1,F_2)=2a$ (tomando $P=V_1$), es decir, $2a$ es la constante a la que se refiere la definición.
 
Los focos están en el eje mayor a $c$ unidades del centro con $c^2=a^2-b^2$,y el eje mayor es horizontal.En el caso de que el eje mayor sea vertical la ecuación toma la forma:


\begin{displaymath}\frac{{\left( x - h \right) }^2}{b^2} + \frac{{\left( y - k \right) }^2}{a^2} = 1\end{displaymath}

La gráfica se muestra en la figura 3.


Figura 4.
Ejemplo 2
Hallar la ecuación canónica de la elipse con vértices en $(3,1), \; (3,9)$ y eje menor de longitud $6$.
Solución
Como la longitud del eje menor es de $6$ unidades, entonces $b = 3$. Como los vértices están en $(3, 1)$ y $(3, 9)$, entonces el centro está en $(3, 5)$, el eje mayor de la elipse es vertical y $a = 4$.Con lo cual


\begin{displaymath}c^2 = a^2 - b^2 = 16 - 9 =7 \; \Longrightarrow \;c = {\sqrt{7}}\end{displaymath}



Por último, la excentricidad es $\displaystyle{e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt{7}}}{4}}$ y la ecuación canónica es


\begin{displaymath}\frac{{\left( x - 3 \right) }^2}{4} + \frac{{\left( y - 5 \right) }^2}{16} = 1\end{displaymath}



Los focos están en $\{ 3,5 \pm {\sqrt{7}})\}$. La gráfica de la elipse se muestra en la figura 5.

Figura 5.

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